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Technisches Magazin Ausgabe 3 | 2021

SIMULIA | SIMULATION |
Dr.-Ing. Sven Reinstädler, Consultant FEM

Materialkalibrierung in der Simulation

Der Artikel zeigt am Beispiel eines Kunststoffes, wie man mit den Dassault Systèmes Lösungen Isight und Abaqus die Parameter von Materialmodellen kalibrieren kann. Anschließend wird vorgestellt, wie komfortabel und schnell es in der Material Calibration App der 3DEXPERIENCE Plattform funktioniert.

Grundlagen technischer Kunststoffe

Das Verformungsverhalten und die Beanspruchung von Kunststoffen kann realitätsnah simuliert werden, wenn man die Parameter geeigneter Materialmodelle mit Kriechkurven kalibriert, die in der Zeit mit Messungen von Verschiebungen an Probekörpern unter Krafteinwirkung ermittelt wurden. Anstelle von Kriechkurven, bei denen die einwirkende Kraft (Spannung) konstant ist, kann das mechanische Verhalten von Kunststoffen auch alternativ mit Relaxationsversuchen untersucht werden. Hierbei werden Prüfkörper weggesteuert verformt und Kräfte gemessen, die zur Aufrechterhaltung der Verformungszustände (Verzerrung) erforderlich sind. Während bei Kriechversuchen die Verschiebungen in Laufe der Zeit zunehmen, nehmen bei Relaxationsversuchen die gemessenen Kräfte kontinuierlich ab. Die anfänglich gemessenen Kräfte sind höher, wenn der Verformungszustand bei Relaxationsversuchen schneller eingeprägt wird.

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Die Messungen sind in der Regel stark von der Temperatur der Kunststoffe abhängig.

Beachten Sie: Kunststoffe kriechen bei erhöhten Temperaturen wesentlich schneller.

Rheologische Körper

In guter Näherung können die Spannung-Verzerrungs-Beziehungen von vielen Kunstoffen mit Zerner-m-Körpern modelliert werden, siehe Abb. 1. Bei einem Zerner-m-Körper ist ein Hooke-Körper einem Maxwell-Körper parallelgeschaltet. Während der Hooke-Körper aus einer einzelnen Feder besteht, setzt sich der Maxwell-Körper aus einer Feder und einem Dämpfer zusammen, die in Reihe geschaltet sind. Da neben zwei Federn ein Dämpfer verwendet ist, gehört der Zerner-m-Körper zu der Klasse der viskoelastischen Materialmodelle. Sie zeichnen sich durch ein zeitabhängiges Verformungsverhalten aus.

Abb. 1: Zerner-m-Körper

Auch wenn schon bei einem Dämpfer die innere Spannung mit der Geschwindigkeit ansteigt, mit der eine äußere Kraft einwirkt, und der Kunststoff bei höheren Spannungen schneller kriecht als bei geringeren Spannungen, kann das Materialverhalten mancher Kunststoffe nur unzureichend mit einem Zerner-m-Körper modelliert werden.

Die Spannungs-Verzerrungs-Beziehungen von Kunststoffen mit beliebig komplexem Kriechverhalten können nahezu exakt mit dem Maxwell-Wiechert-Körper beschrieben werden, siehe Abb. 2. Ist beim Zerner-m-Körper nur ein Feder-Dämpfer-Element verwendet, besteht der Maxwell-Wiechert-Körper aus einer Vielzahl an parallel geschalteten Feder-Dämpfer-Elementen. Für komplexes Kriechverhalten ist in der Regel eine Vielzahl an Feder-Dämpfer-Elementen erforderlich. Dies führt zu vielen Parametern, die mit Optimierungsalgorithmen kalibriert werden müssen.  

Abb. 2: Maxwell-Wiechert-Körper

Modellierung von Kunststoffen mit Abaqus

Die Parameter des Zerner-m-Körpers sind in Abaqus mit den Keywords *ELASTIC und *VISCOELASTIC definiert. Bezüglich der Elastizität kann alternativ der instantaneous E-Modul Einst = k0 + k1 oder der long term E-Modul Elong = k0 festgelegt werden (k: Federsteifigkeit). Die Viskoelastizität ist in Abaqus mit einer Prony-Reihe beschrieben. Auch wenn die Anzahl an Reihengliedern nicht beschränkt ist, kann das mechanische Verhalten des Zerner-m-Körpers bereits mit dem ersten Reihenglied exakt abgebildet werden. Die Beziehungen zwischen den Parametern der beiden Modelle sind in Abb. 3 dargestellt.

Abb. 3: Prony-Parameter

Wie zuvor beschrieben, ist das Verformungsverhalten vieler Kunststoffe stark temperaturabhängig. Viele Kunststoffe relaxieren und verformen sich bei erhöhten Temperaturen wesentlich schneller. Temperaturabhängiges Verformungsverhalten kann in Abaqus mit der Williams-Landel-Ferry (WLF) oder der Arrhenius-Funktion berücksichtigt werden. So wird der Einfluss der Temperatur mit einer Modifikation der Zeitskala erfasst. Verformt sich der Kunststoff bei höheren Temperaturen schneller, ist die interne Zeit größer als die reale Zeit. Die Parameter beider Funktionen werden mit dem Keyword *TRF gesetzt.

Für Kunststoffe, deren Kriechverhalten nur unzureichend mit Prony-Reihen (lineare Viskoelastizität) beschrieben werden kann, ist in Abaqus das Parallel Rheological Framework (PRF) - Modell implementiert (nichtlineare Viskoelastiztät). Es wird mit *VISCOELASTIC, NONLINEAR verwendet und kann mit einem Reibelement im rheologischen Körper auch bleibende Verformungen modellieren. Des Weiteren kann Materialschädigung (Mullins-Effekt) berücksichtigt werden. Damit kann das Parallel Rheological Framework als ein erweitertes Maxwell-Wiechert-Modell angesehen werden (siehe oben).

Mit einem PRF-Modell kann der Anwender zwischen vier unterschiedlichen Kriechmodellen wählen:

  1. Power law model
  2. Power law strain-hardining model
  3. Hyperbolic-sine law model
  4. Bergstrom-Boyce model

Auch hier kann der Einfluss der Temperatur mit *TRF berücksichtigt werden.

Abschließend sei an dieser Stelle noch auf die Modelle:

  • *HYPERFOAM und
  • *LOW DENSITY FOAM

hingewiesen, mit denen das mechanische Verhalten stark kompressibler Schaumstoffe beschrieben werden kann.

Materialkalibrierung mit Abaqus

Abaqus stellt dem Anwender für „Zerner-Modelle“ (lineare Viskosität) eine Materialkalibrierung auf Basis der Fehler-Quadrat-Methode bereit. So können anstelle von Prony-Parametern mit *VISCOELASTIC, TIME = CREEP TEST DATA direkt einzelne Wertepaare von Kriechkurven eingegeben werden. Stehen Ergebnisse von Relaxationsversuchen zur Verfügung, kann alternativ TIME = RELAXATION TEST DATA verwendet werden. Selbst die Ergebnisse von zyklisch beanspruchten Kunststoffen (Stichwort: komplexer Schubmodul) können mit TIME = FREQUENCY DATA direkt genutzt werden.  

Ein Isight-Simflow

In Bezug auf Kunststoffe können mit Abaqus als Standalone-Produkt nur Parameter von „Zerner-Modellen“ kalibriert werden. So hat die CENIT am Beispiel eines PRF-Modells einen Simflow (Simulation-Workflow) mit Isight erstellt, der die Kalibrierung von Materialmodellen ermöglicht. Im Folgenden sind die Kriechkurven eines Kunststoffes, der Aufbau des Isight-Simflow und die Parametervariation innerhalb der Optimierung dargestellt. 

Die in Abb. 4 gezeigten Kriechkurven sind hier mit dem viskoelastischen Materialmodell nach Dalrymple [1] bestimmt. Er kalibrierte die Parameter für einen Polypropylen-Kunststoff. Der zugehörige Auszug aus dem Input-Deck ist in Abb. 5 gezeigt. Modelliert ist der Prüfkörper nach ISO 527-2 (Typ 1A), siehe Abb. 6 (Hinweis: vermasst ist ein Segment des symmetrischen Prüfkörpers). Er wird mit Zugspannungen von 10 MPa, 20 MPa und 30 MPa über einen Zeitraum von 1000 Stunden beansprucht. Zuerst wird in einem *STATIC-Step die Spannung schrittweise aufgebracht. Das Kriechen selbst ist anschließend mit einem *VISCO-Step berechnet, in dem dann die Viskoelastizität des Materials berücksichtigt wird.

Abb. 4 Kriechkurven

Abb. 4: Kriechkurven

Abb. 5 Auszug aus dem Input-Deck

Abb. 5: Auszug aus dem Input-Deck

Abb. 6 Abmessungen des Prüfkörpers

Abb. 6: Abmessungen des Prüfkörpers

Der in Abb. 7 gezeigte Simflow setzt sich der Reihe nach im Wesentlichen aus:

  • einer Optimierungs-Komponente,
  • einer Data Exchanger-Komponente,
  • drei Abaqus-Komponenten,
  • einer Script-Komponente und
  • einer Data-Matching-Komponente

zusammen. Optimiert wird mit dem Downhill-Simplex-Verfahren. Die Startwerte und die Grenzen der Wertebereiche sind in Abb. 8 dargestellt. Zuerst werden mit der Data Exchanger-Komponente die Input-Decks bezüglich der Materialparameter modifiziert. Die Verläufe der Kriechverzerrungen werden mit 3 Abaqus-Komponenten berechnet, je eine Komponente für eine Spannungsintensität. Auch wenn die Abaqus-Komponenten hier in Reihe dargestellt sind, tauschen sie untereinander keine Ergebnisse aus. Alle Abaqus-Komponenten liefern innerhalb eines Optimierungslaufes für dieselben Design-Variablen Kriechkurven. Sie werden mittels Abaqus-Python ausgelesen und in Text-Dateien abgespeichert. Aufgerufen wird Abaqus-Python aus der Script-Komponente.

Abb. 7 Isight-Simflow

Abb. 7: Isight-Simflow

Abb. 8 Startwerte

Abb. 8: Startwerte

Mit der Data Matching-Komponente werden über die Kriechfunktionen gesehen die Summen der Fehlerquadrate in Bezug auf die „experimentell“ bestimmten Kriechverläufe berechnet, siehe Abb.9. Abschließend werden die drei Summen der Fehlerquadrate an die Optimierungskomponente weitergeleitet, die sie in Ihrer Zielfunktion gleichmäßig wichtet. Für die neun Design-Variablen sind insgesamt 1000 Optimierungsläufe angelegt. Der Auszug aus der in Abb. 10 dargestellten History zeigt, wie die Design-Variablen während der Optimierung verändert werden. Dem Auszug nach, wird in den Läufen 11 bis 22 zuerst der Einfluss der Design-Variablen A1 auf die Zielfunktion der Optimierung näher untersucht.

Abb. 9 Data Matching

Abb. 9: Data Matching

Abb. 10 History

Abb. 10: History

Die All-in-One App in der 3DEXPERIENCE Plattform

Schneller und komfortabler geht es mit der Material Calibration App in der 3DEXPERIENCE Plattform. Sie stellt im Vergleich mit Abaqus (Standalone) für weitaus mehr Materialmodelle eine Kalibrierung bereit. Basierend auf den Erfahrungen der Entwickler, ist hier vieles voreingestellt, so dass man sich mit dem Optimierungsverfahren als solches nicht unbedingt näher befassen muss. Die Anlage und das Ergebnis einer Kalibrierung sind am Beispiel des zuvor beschriebenen Kunststoffes in Auszügen gezeigt.

Die Material Calibration App ist in diversen SIMULIA-Rollen enthalten. Sie steht neben dem Material Calibration Engineer (MAS) insbesondere dem Structural Analysis Engineer (SYE) zur Verfügung, der die Mechanik von Strukturen bis ins Detail modelliert und analysiert. Mit der Material Calibration App können nahezu alle, in der Technik eingesetzten Materialien realistisch abgebildet werden. Die wesentlichen Funktionen der App sind auf einer übersichtlich gestalteten Registerkarte zusammengestellt, siehe Abb. 11.

Abb. 11: Material Calibration App

Zuerst wird mit der Funktion Material Model das Materialmodell ausgewählt, dessen Parameter zu bestimmen sind. Können mit Abaqus nur die Prony-Parameter des Zerner-m-Körpers aus Kriechkurven abgeleitet werden, können mit der Material Calibration App auch die Parameter von PRF-Modellen komfortabel abgestimmt werden, siehe Abb. 12. Dabei kann sogar das plastische und temperaturabhängige Verhalten von Kunststoffen berücksichtigt werden.

Abb. 12: Materialmodelle

Dem Anwender stehen unterschiedliche Kalibrierungs-Verfahren zur Verfügung. Die Werte der Parameter von linearen Materialmodellen können analytisch bestimmt werden. Nichtlineare Materialmodelle können mithilfe von Finite-Elemente-Berechnungen kalibriert werden. Der Verzerrungs- oder Spannungszustand kann alternativ auch direkt vorgegeben werden. Entsprechen dem Experiment nach ISO 527-2 ist hier der Beanspruchungsmodus Tension ausgewählt. Nachdem das Materialmodell und der Beanspruchungsmodus festgelegt sind, werden mit der Funktion Test Data die Kriechkurven des Kunststoffes nach Dalrymple [1] eingelesen. Anschließend wird das Setup der Optimierung aufgesetzt. Es werden die Design-Variablen ausgewählt und deren Wertebereiche eingegrenzt. Abb. 13 zeigt, dass die Parameter von PRF-Modellen direkt abgegriffen werden - das Materialmodell ist erkannt. Zuletzt wird der Optimierungsalgorithmus spezifiziert, voreingestellt ist das Downhill-Simplex-Verfahren.

Abb. 13: Design-Variablen

Als Ergebnis ist in Abb. 14 exemplarisch die Kriechkurve zu einer Belastung von 10 MPa dargestellt. Wie erwartet durchläuft die rote Kurve (response) nahezu exakt die schwarzen Dreiecke (test) - die Material Calibration App passt die Parameter des PRF-Modells optimal an.

Abb. 14: Material fitting

Literatur:

[1] Tod Dalrymple: Calibaration of Polypropylene – Washington Penn grade PPC3TF2-Black, unpublished, 2014.